jueves, 2 de septiembre de 2010

Una Quinta dimension y Mas Alla

16:38 Blogger No comments





Una de las características más evidente de nuestro mundo físico y que prácticamente a nadie le llama la atención es la tridimensionalidad del espacio. En la teoría de la relatividad especial de Einstein, el espacio y el tiempo pasan a estar tan íntimamente entrelazados que Hermann Minkowski consiguió demostrar que en ella el tiempo podía considerarse una cuarta dimensión (aunque no sea una dimensión espacial). Nadie tiene la menor idea de por qué el mundo en que vivimos tiene una dimensión temporal y tres espaciales y no, por ejemplo, once dimensiones. Por supuesto, el mundo sería muy distinto si alterásemos su dimensionalidad. Quizá las dimensiones superiores sean fatales para la vida y debamos agradecer nuestra modesta asignación de cuatro.

Ya señalamos en la sección anterior que cohabitamos en un mundo espaciotemporal de tres dimensiones más una y lo aceptamos así, sin más, simplemente por que está escrito en las leyes de la física. Pero, claro está, que no todos los físicos están de acuerdo con esa disposición imperativa. Día a día, ha venido ganando terreno la idea de que la dimensionalidad de nuestro mundo debería deducirse como consecuencia de una teoría integral y general del universo y no constituir un ritualizado postulado inicial. A lo mejor, algún día, se desarrolla y comprueba nuevas dimensiones espaciotemporales observadas a partir de primeros principios. Desde ya hace algún tiempo, se están elaborando estructuras conceptuales en que los cálculos de más dimensiones podrían tener sentido algún día. Dentro de las primarias de estas estructuras conceptuales se encuentra la llamada «teoría de KaluzaKlein» –que empezamos a enunciar en nuestra sección anterior– y que surgió de otra generalización de la relatividad general tetradimensional einsteiniana, esta vez para espacios de más dimensiones. Antes de exponer de manera más sesuda y matemática la teoría de Kaluza-Klein, haré una breve digresión para describir lo que significan dimensiones «grandes» y «pequeñas».

Las tres dimensiones espaciales observadas son dimensiones «grandes»: podemos caminar por ellas. Si existieran dimensiones adicionales, no deberían ser como las «tres grandes»; si lo fuesen, también podríamos caminar por ellas, lo cual choca claramente con la experiencia. Las dimensiones extra que contemplan los físicos son dimensiones «pequeñas», tanto que no pueden verse, y por ello no influyen directamente en nuestra perspectiva tridimensional del mundo. ¿Qué son dimensiones «pequeñas»?

Para entender lo que son dimensiones «pequeñas», imaginemos un mundo con una sola dimensión «grande». El espacio de este mundo unidimensional estaría representado por una línea infinitamente larga. Imaginemos luego que esa línea se apoya en la superficie de un cilindro, de forma que el espacio completo está ya representado por la superficie bidimensional del cilindro. La segunda dimensión «extra» corresponde a andar alrededor del cilindro. Si lo hacemos, volvemos al punto de partida: la dimensión extra es un círculo, no una línea.

La superficie del cilindro es un espacio bidimensional. La dimensión «grande» es la línea, y la «pequeña» es el círculo. Si la dimensión pequeña se contrae hasta un radio cero, sólo queda una línea, un espacio unidimensional. Podría aplicarse un esquema similar a nuestro mundo, que puede tener más de cuatro dimensiones. Las otras, las dimensiones superiores, podrían ser dimensiones «pequeñas» no observadas directament

Los espacios que se rizan sobre sí mismos, como el espacio unidimensional de una línea circular o la superficie bidimensional de una esfera, reciben en matemática el nombre de «espacios compactos». Un cilindro puede considerarse un espacio bidimensional, una de cuyas dimensiones es compacta (el círculo) y la otra no compacta (la línea). Podemos imaginar un radio de círculo tan pequeño que se reduce a cero; volvemos así a un espacio unidimensional: la línea infinitamente larga. No hay duda de que si hacemos el círculo muy pequeño podremos aproximarnos al espacio unidimensional de la línea tanto como queramos. El círculo es la dimensión extra «pequeña» y la línea es la dimensión observada «grande».

La posibilidad de que existan dimensiones extra «pequeñas» aparte de las «cuatro grandes» del espaciotiempo (dimensiones tan pequeñas que no contradicen la experiencia) la descubrió, en el marco de la relatividad general de Einstein, Theodor Kaluza. Este matemático, filósofo y filólogo, estudió las ecuaciones de Einstein generalizándolas para un espaciotiempo de cinco dimensiones en que la quinta dimensión «extra» era compacta: sólo un pequeño círculo. Kaluza supuso que en cada punto del espaciotiempo tetradimensional ordinario había un circulito, lo mismo que lo hay en cada punto a lo largo de la línea en el cilindro que considerábamos.

Igual que en el espacio ordinario podemos movernos de un punto a otro, podemos imaginar una partícula que se mueve alrededor del pequeño círculo en la quinta dimensión. Por supuesto, no se mueve muy lejos (y en modo alguno en las dimensiones «grandes»), porque el círculo es muy pequeño y lo único que hace es dar vueltas y vueltas. Pero aun así, ¿qué significa la posibilidad de este movimiento extra? Kaluza demostró que esta libertad de movimiento adicional asociada a una simetría de círculo en cada punto del espaciotiempo, podía considerarse la simetría de medida simple del campo electromagnético. Esta interpretación no ha de resultar muy sorprendente desde un punto de vista moderno si consideramos que una simetría (como la simetría del circulito) entraña automáticamente la existencia de un campo de medida (como el campo electromagnético). La teoría de las cinco dimensiones de Kaluza no sólo describía, pues, la curvatura del espaciotiempo tetradimensional grande en función de las ecuaciones gravitatorias einsteinianas habituales, sino que además unificaba físicamente la gravedad en el campo de medida electromagnético de Maxwell, utilizando la extraña idea de una quinta dimensión circular. Kaluza logró unificar la gravedad y el electromagnetismo por medio de su quinta dimensión compacta, pero introduciendo varios supuestos restrictivos en la solución de las ecuaciones de Einstein.

En 1926, Qskar Klein dio un impulso significativo a esta teoría, demostrando que estos supuestos restrictivos eran completamente innecesarios. Calculó, además, el radio del circulito de la quinta dimensión en función de las cantidades conocidas, la escala de distancia de Planck y la carga electrónica, obteniendo un radio de unos 10-30 cm... un radio en extremo pequeño que aseguraba que la quinta dimensión era absolutamente invisible. Mas, pese a su pequeño tamaño, la libertad que tienen los campos para moverse alrededor de ese pequeño círculo está presente siempre en cada punto del espacio ordinario, y esa libertad basta para garantizar la existencia del campo electromagnético. En consecuencia, Klein asume una total independencia de la dimensión extra, generando un espaciotemporal pentadimensional que tendría la configuración R4 x S1, en que la quinta coordenada es periódica, 0 £ my £ 2p, donde m es la inversa del radio del círculo. Claro está, que en nuestra percepción diaria jamás vemos esa dimensión extra.

A raíz de la periodicidad de la dimensión extra, podríamos desarrollar una expansión Fourier con esas mismas coordenadas, pero ello nos llevaría a una multiplicidad de campos de cuatro dimensiones. En consecuencia, y para poder entender mejor lo que queremos describir, procederemos primero a analizar las reducciones que introdujo Kaluza.

En nuestra metodología, expresaremos un campo pentadimensional con û y tetradimensional con simple u. O sea, cinco dimensiones: û = 0, 1, 2, 3, 5 y cuatro dimensiones: u= 0, 1, 2, 3 (xû = (xu, y)

Ahora bien, para llegar a la concepción pentadimensional de Kaluza, se parte fraccionando 4 + 1 de las cinco dimensiones métricas:

[12.05.21]\begin{displaymath}\hat g_{\hat\mu\hat\nu} = \left( \begin{array}{cc} g_{\mu\nu... ...-\phi A_\mu \\ \\ -\sigma A_\nu & -\phi \end{array} \right) \end{displaymath}

en que las fracciones guardan las características de campos transformados en cuatro dimensiones.
Llegamos a una transformación infinitesimal de coordenadas en cinco dimensiones con:

donde, por supuesto, la transformación de la quinta coordenada se encuentra independiente. Obtenido ese resultado, se llega a la transformación de coordenadas de cinco dimensiones métricas, de la siguiente manera:

[12.05.22]\begin{displaymath}\delta \hat g_{\hat\mu\hat\nu} = \hat g_{\hat\mu\hat\rho} (\p... ...+ \xi^{\hat\rho}(\partial_{\hat\rho} \hat g_{\hat\mu\hat\nu}). \end{displaymath}

Por ejemplo, podemos derivar las propiedades del vector tetradimensional $A_\mu$:

$\displaystyle \delta \hat g_{\mu 5}$ = $\displaystyle -(\delta \phi) A_\mu - \phi (\delta A_\mu)$





= $\displaystyle \hat g_{\hat\rho 5} (\partial_\mu \xi^{\hat\rho}) + \xi^\rho(\partial_\rho \hat g_{\mu 5})$





= $\displaystyle -\phi A_\rho (\partial_\mu \xi^\rho) - \phi (\partial_\mu \xi^5 )- \xi^\rho (\partial_\rho\phi)D_\mu - \xi^\rho(\partial_\rho D_\mu)\phi$


Entonces tenemos
\begin{displaymath}\delta A_\mu = A_\rho (\partial_\mu \xi^\rho) + \xi^\rho (\partial_\rho A_\mu) + \partial_\mu \xi^5. \end{displaymath}
Donde el último término equivale a U(1) gauge y el campo del vector $A_\mu$ corresponde a uno tetradimensional. Sin embargo, las cinco dimensiones son invariantes, siendo la quinta independiente de la simetría de la unidad gauge del vector tetradimensional. El uso de compactificaciones más complejas generan, a su vez, simetrías de la unidad gauge tetradimensional mucho más complicadas.
Por otra parte, so obtienen correctas transformaciones de las cuatro dimensiones métricas y el campo escalar:
$\displaystyle \delta g_{\mu\nu}$ = $\displaystyle g_{\mu\rho} (\partial_{\nu} \xi^{\rho}) + g_{\rho\nu} (\partial_{\mu} \xi^{\rho}) + \xi^{\rho}(\partial_{\rho} g_{\mu\nu}),$




$\displaystyle \delta \phi$ = $\displaystyle \xi^\rho \partial_\rho \phi$

Nótese que hemos dado el valor a $\hat g_{55} = -\phi$, con el objeto de mantener positivo el campo escalar, mientras que la quinta coordenada permanece en el espacio. Se trata, simplemente, de una opción matemática conveniente.

Ahora, con la siguiente relación $\hat g_{\hat\mu\hat\rho} \hat g^{\hat\rho\hat\nu}=\delta^{\hat\nu}_{\hat\mu}$ podemos estimar la métrica inversa:

[12.05.23]\begin{displaymath}\hat g^{\hat\mu\hat\nu} = \left( \begin{array}{cc} g^{\mu\nu... ... \\ \\ -A^\nu & -\frac{1}{\phi} + A^2 \end{array} \right). \end{displaymath}

Siguiendo con las ideas de Kaluza, podemos llegar a un espaciotemporal pentadimensional, siendo la quinta dimensión la pura gravedad. A esto se llega de la siguiente manera:

[12.05.24]\begin{displaymath}S^{(5)}= - \int d^5x \sqrt{\hat g} \hat R \end{displaymath}
Pero tenemos que expresar matemáticamente a cinco dimensiones insertas en las cuatro que reconocemos como espaciotemporal. Ello, métricamente, se puede realizar de manera simple:
[12.05.25]\begin{displaymath}\hat g = \mbox{det}(\hat g_{\hat\mu\hat\nu}) = -\mbox{det}(g_{\mu\nu})\phi=-g\phi \end{displaymath}
La reducción de la curvatura de cinco dimensiones del campo escalar, requiere el desarrollo de bastantes cálculos. En consecuencia, aquí solamente vamos a insertar el resultado final:
[12.05.26]\begin{displaymath}\hat R = R + \frac{1}{2\phi^2}(\partial\phi)^2 - \frac{1}{\ph... ...x\phi + {\textstyle{1\over 4}}\phi F_{\mu\nu}(A)F^{\mu\nu}(A), \end{displaymath}
Donde si colocamos atrás $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ tenemos a la quinta coordenada, $\int dx^5 = 1$, llegando a:
[12.05.27]\begin{displaymath}S^{(4)} = \int d^4x \sqrt{-g\phi} \left\{ -R - \frac{1}{2\phi... ...1}{\phi}\Box\phi - {\textstyle{1\over 4}}\phi F(A)^2 \right\}, \end{displaymath}
Los dos términos que se derivan de $\phi$ pueden escribirse como un total y, así, no participan de la acción. Simplificamos, entonces
[12.05.28]\begin{displaymath}S^{(4)}=\int d^4x \sqrt{-g} \phi^{\frac{1}{2}} \left\{ -R - {\textstyle{1\over 4}}\phi F(A)^2 \right\}. \end{displaymath}

Podemos expresar la misma acción en términos einstianos más algunas sofisticaciones matemáticas. En consecuencia, libremos los campos escalares de la curvatura escalar. Podemos realizar eso, conformando la métrica de la siguiente manera:

\begin{displaymath}g_{\mu\nu} \to g_{\mu\nu}' = \phi^{\frac{1}{2}} g_{\mu\nu}. \end{displaymath}
Bajo este procedimiento, transformamos el campo escalar de la curvatura de un modo no muy trivial:
[12.05.29]\begin{displaymath}R=\phi^{\frac{1}{2}} \left[ R' + {\textstyle{3\over 2}}( \nab... ...la^\rho \phi ) - \frac{1}{4 \phi^2} (\nabla \phi)^2 ) \right]. \end{displaymath}
Los otros términos de la ecuación se transforman de la forma siguiente
$\displaystyle F^2 = \phi F'^2 ,$


$\displaystyle \sqrt{-g} = \phi^{-1} \sqrt{-g'}.$


Si además transformamos los campos escalares
\begin{displaymath}\phi \to \phi'=\sqrt{3} \log \phi, \end{displaymath}
entonces podemos expresar la ecuación tetradimensional de manera convencional:
[12.05.30]\begin{displaymath} S = \int d^4x \sqrt{-g} \left\{ -R + {\textstyle{1\over 2}}\... ...e{1\over 4}}e^{-\sqrt{3} \phi} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \right\}. \end{displaymath}

Hemos llegado al final del desarrollo analítico matemático, en que Kaluza llega a unificar el electromagnetismo con la gravedad.

Después de los años treinta del siglo XX, la idea Kaluza-Klein perdió prestigio, y se abandonó durante un tiempo. El concepto de campos escalares*, en esa época, gozaba de un rechazo absoluto. Pero cuando los físicos buscaron cualquier vía posible para unificar la gravedad con las demás fuerzas, volvió a adquirir prominencia, especialmente cuando se empezaron a desarrollar teorías con más dimensiones. Hoy, a diferencia de lo que sucedía en los años veinte, los físicos no sólo quieren ya unificar la gravedad con el electromagnetismo: quieren unificarla también con las interacciones débil y fuerte. Esto exige más dimensiones adicionales.

Los físicos teóricos han generalizado la teoría de las cinco dimensiones a un número arbitrario de dimensiones superiores. Todas las dimensiones superiores son compactas; se rizan en un pequeño espacio multidimensional que existe en cada punto del espacio ordinario y que es, por tanto, inobservable. Pero la libertad de moverse por esos pequeños espacios compactos con simetrías más generales que la simple de un círculo, se corresponde exactamente con la libertad de realizar transformaciones de medida de Yang-Mills. Curiosamente, las simetrías de medida locales son en realidad las del espacio compacto de dimensiones superiores. Debido a tal hecho matemático, todas las teorías de medida de campos de Yang-Mills pueden interpretarse de forma puramente geométrica en función de esos espacios compactos de dimensiones superiores.

El gran inconveniente que presenta el modelo de Kaluza-Klein es su carencia de flexibilidad, ya que se trata de una teoría muy restrictiva, tanto que nadie ha conseguido dar con una versión realista que incluya el modelo estándar. Si bien agradecen esos principios restrictivos que delimitan alternativas en la búsqueda de la teoría correcta, los físicos se desilusionan al percibir que, hasta el momento, tales limitaciones extremas sólo han conducido a teorías que no logran describir el mundo cuántico observado. Pero se ha seguido investigando.

En 1978, Eugene Cremmer y Bernard Julia, dos físicos matemáticos franceses, realizaron un descubrimiento interesante al combinar la idea de Kaluza-Klein con la teoría de la supergravedad. Recordemos que hay ocho teorías de la supergravedad de las que la supergravedad N = 1 es la más simple, con sólo los campos del gravitón y el gravitino, y la N = 8 la más compleja, con 163 campos diferentes. Cremmer y Julia percibieron que si la supergravedad N = 1 se aborda en un espacio de once dimensiones (en vez de cuatro) y se supone que 7 de esas once dimensiones son compactas a la Kaluza-Klein, y las cuatro restantes son las «grandes» dimensiones espaciotemporales, la teoría resultante en esas cuatro dimensiones es la supergravedad N = 8. Una teoría de supergravedad N = 1 simple, de once dimensiones, se convierte así en la complicada teoría de la supergravedad N = 8 de cuatro. Este resultado animó a los que esperaban que las teorías de campo complejas, necesarias para describir el mundo real tetradimensional, surgiesen de teorías mucho más simples al considerarlas en dimensiones superiores. Algunos físicos tienen la esperanza de que baste hallar la aplicación adecuada de la idea de Kaluza-Klein para que surja la teoría general del universo.

Pese al atractivo estético de los principios básicos, para que la idea de la unificación multidimensional funcione es preciso superar importantes obstáculos matemáticos. Por una parte, nadie sabe por qué razón profunda unas dimensiones son compactas y pequeñas y otras (las cuatro que vemos) son grandes. La teoría de Kaluza-Klein se limita a suponer que cuatro dimensiones son grandes y que las otras son compactas: un supuesto del que los físicos esperan poder prescindir algún día. Es muy probable que la idea de la simetría rota (en este caso la simetría rota de un espacio multidimensional.) desempeñe un papel importante en la tarea de librarles de ese supuesto. Quizá el mundo real, con sus cuatro dimensiones grandes, corresponda a la solución rota pero estable de las ecuaciones que expresan las simetrías de una geometría multidimensional. Estos vislumbres, aunque interesantes, aún no han resuelto el problema básico de la dimensionalidad del espaciotiempo observada.

Otra de las vallas que presenta el modelo pentadimensional es el valor del radio de la quinta dimensión. Klein calculó en sus trabajos el radio de la quinta dimensión en función de la longitud de Planck y de la carga electrónica, medida de la fuerza de interacción electromagnética. Si conociéramos el valor del radio de la quinta dimensión, podríamos determinar la carga electrónica invirtiendo el cálculo. Los físicos han calculado recientemente los radios de las otras dimensiones y han utilizado esos cálculos para determinar las cargas correspondientes a la fuerza de las otras fuerzas. Pero estas cargas calculadas son, con mucho, demasiado grandes para poder relacionarlas con la fuerza observada de dichas fuerzas. Lo anterior, es lo que tiene como consecuencia que muchos físicos consideren que esas teorías multidimensionales no son muy realistas.

Pero esos problemas y vallas estimulan hoy la imaginación de los físicos teóricos. La idea de que las diversas simetrías de medida que desempeñan un papel tan decisivo en la comprensión de las fuerzas naturales sean simplemente una manifestación de la simetría de un espacio de dimensiones superiores, posee tal atractivo que se sigue trabajando en esta maravillosa idea hasta demostrar su incompatibilidad con la experiencia o hasta que surja una idea mucho mejor. No se desechará fácilmente la esperanza de lograr la unificación geométrica de la gravedad con el resto de las fuerzas de la naturaleza mediante una gran ampliación de la teoría de la relatividad general de Einstein. Quizá algún día unos físicos tenaces lleguen incluso a aclarar el problema de por qué nuestro mundo tiene tres dimensiones espaciales y una temporal. En el ámbito de estas ideas «vesánicas» y fantásticas ni siquiera esperar hallar la solución a ese problema trascendental parece mucho esperar.


Fuentes:Astrocosmo.cl

Posted in:

0 comentarios:

Publicar un comentario

 
Design by Wordpress Theme | Bloggerized by Free Blogger Templates | coupon codes